A famosa lenda dos grãos de trigo

Há muitos anos atrás, contaram-me a lenda sobre a origem do jogo de xadrez. Lembro que era baseada em um livro de famoso matemático, autor de inúmeras obras, denominado Malba Tahan. Recentemente, vindo a ler o livro, soube que o referido nome era fictício e que na verdade o autor era o professor Júlio César de Mello e Souza, autor ilustre de inúmeras obras de Matemática. Somente um capítulo deste livro foi dedicado à exposição da lenda do magistral jogo e à sua origem. Assim me foi contada:

"Num reinado distante um súdito de origem humilde deu de presente ao seu  soberano um protótipo do que é hoje o jogo de xadrez com as 64 casas quadradas e com as suas 32 peças – 16 brancas e 16 pretas. O rei alegrou-se com a novidade e resolveu pagar uma pequena fortuna pela invenção. O jovem não queria receber riquezas pela sua descoberta e sim deixar feliz o seu soberano. Após muita insistência, para não contrariar o monarca, acabou rendendo-se aos seus pedidos e propôs que receberia do seu Senhor a paga em grãos de trigo. Combinou em receber uma certa quantidade de grãos por cada quadrado do tablado do jogo de xadrez até a sexagésima quarta casa. Aceitou o soberano e  determinou aos seus conselheiros, que de imediato, pagassem ao jovem matemático 1 grão pela primeira casa, dois pela segunda, quatro pela terceira e assim sucessivamente até a última casa do tabuleiro de xadrez.  

Ao fazerem os cálculos da quantia que deveria ser paga, os calculistas do reino concluíram ser impossível cumprir com a promessa do soberano. Avaliaram que a quantidade de grãos erguidos em monte seria muito superior à altura das mais altas montanhas existentes. 

O jovem, assistindo ao desespero do seu soberano, acabou por desistir do que deveria receber e assim o declarou perante todos os presentes. 

O rei satisfeito pela atitude e generosidade do seu súdito, pois acabara de reaver o seu  reino, agradeceu ao seu servo e acabou o nomeando para o cargo mais ilustre e  poderoso do seu governo.".

O problema: Assim, seriam pagos, em grãos de trigo, a dívida assumida pelo rei ao seu súdito, inventor do jogo de xadrez:

Na casa número 1 --- 1 grão de trigo
Na casa número 2 --- 2 grãos de trigo
Na casa número 3 --- 4 grãos de trigo
Na  quarta casa --- 8 grãos de trigo
e assim por diante ... até a casa de número 64.

A solução: Na Matemática reside a solução do problema, através dos elementos acondicionados em uma Progressão Geométrica de razão 2, com 64 termos. E, sendo assim a fórmulas a ser aplicada é :

O valor imenso encontrado utiliza 20 casas decimais,   18.446.744.073.709.551.615, é que ilustra a enorme quantidade de grãos de trigo, inconcebível para a visualização humana.

Sabe-se lá, se o súdito inventor não tivesse recusado o seu crédito, o monarca estaria até hoje colhendo trigo e erguendo montanhas.
Obrigado.